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如图.在△ABC中.∠BAC=90°.延长BA到点D.使AD=AB.点E.F分别为边BC.AC的中点

最后更新时间 :2022-09-25 23:59:36教育
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=AB,点E、F分别为边BC、AC的中点.
(1)求证:DF=BE;
(2)过点A作AG∥BC,交DF于点G,求证:AG=DG.证明:(1)如图,过点F作FH∥BC,交AB于点H,
∵FH∥BC,点F是AC的中点,点E是BC的中点,
∴AH=BH=AB,EF∥AB.
∵AD=AB,
∴AD=AH.
∵CA⊥AB,
∴CA是DH的中垂线.
∴DF=FH.
∵FH∥BC,EF∥AB,
∴四边形HFEB是平行四边形.
∴FH=BE.
∴BE=FD.

(2)由(1)知BE=FD,
又∵EF∥AD,
∴四边形DBEF是等腰梯形.
∴∠B=∠D.
∵AG∥BC,∠B=∠DAG,
∴∠D=∠DAG.
∴AG=DG.
分析:(1)过点F作FH∥BC,交AB于点H,则四边形HAEF是平行四边形,有HF=BE,证得AC是HD的中垂线后得到HF=FD,故有FD=BE;
(2)由于四边形DAEF是等腰梯形,有∠B=∠D,而AG∥BC有∠B=∠DAG,故有∠D=∠DAG?AG=DG.
点评:本题利用了三角形的中位线的性质,中垂线的判定和性质,平行四边形的判定和性质,等边对等角求解.